Rumus Persamaan Garis Lurus Dan Penjelasannya
Persamaan Garis Lurus | Persamaan garis lurus adalah salah satu cabang ilmu matematika yang dipelajari sejak kita duduk di bangku SMP . Sebenarnya apakah yang dimaksud dengan persamaan garis lurus ? dan bagaimanakah rumus – rumusnya ? Persamaan garis lurus dapat diartikan juga dengan persamaan linier yaitu ada yang teriri dari satu variabel dan ada juga yang terdiri dari dua variabel . Untuk lebih jelasnya , perhatikan penjelasan – pejelasan di bawah ini .
Rumus Persamaan Garis Lurus
Sebelum kita mempelajari tentang rumus – rumus persamaan garis lurus , kita harus memahami terlebih dahulu pengertian dari persamaan garis lurus itu sendiri .Dan dalam sebuah persamaan garis lurus . ada satu komponen yang tidak dapat terlepas darinya yaitu Gradien . Apakah yang dimaksud dengan gradien? Perhaikan penjelasan di bawah ini :
A.Pengertian Persamaan Garis Lurus Dan Gradien
Persamaan Garis lurus , yaitu suatu perbandingan antara koordinat y dan koordinat x dari dua titik yang terletak pada sebuah garis .
Gradien , yaitu Perbandingan komponen y dan komponen x , atau disebut juga dengan kecondongan sebuah garis. Lambang dari suatu gradien yaitu huruf “m” .
- Gradien dari persamaan ax + by + c = 0
- Gradien yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan titik ( a , b )
m = b/a
- Gradien Yang melalui titik ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 )
m = y1 – y2 / x1 – x2 atau m = y2 – y1 / x2 – x1
- Gradien garis yang saling sejajar ( / / )
m = sama atau jika dilambangkan adalah m1 = m2
- Gradien garis yang saling tegak lurus ( lawan dan kebalikan )
m = -1 atau m1 x m2 = -1
B. Rumus Persamaan Garis Lurus
- Persamaan Garis Lurus bentuk umum ( y = mx )
-> persamaan yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien m .
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2 !
Jawab : y = mx
y = 2 x
2. y = mx + c
->Persamaan garis yang / / dengan y = mx dan bergradien m .
-> Persamaan garis yang melalui titik ( 0 , c ) dan bergradien m . ( 0 , c ) adalah titik potong sumbu y .
3. Persamaan Garis Lurus Yang Melalui titik ( x1 , y1 ) dan bergradien m .
persamaannya yaitu :
y – y1 = m ( x – x1 )
4. Persamaan Garis Lurus Yang Melaui Dua titik yaitu ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 ) .
Contoh Soal
- Tentukan Gradien garis yang melalui titik ( 0 , 0 ) dengan titik A ( -20 , 25 )
- Tentukan Gradien garis yang melalui titik A ( -4 , 7 ) dan B ( 2 , -2 )
- Tentuka Gradien garis dengan persamaan garis 4x + 5y – 6 = 0
- Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pusat koordinat dan bergradien – 4/5
- Persamaan garis lurus yang melalui titik ( 0 , -2 ) dan m = 3/4 adalah . . .
- Tentukan persamaan garis G yang melalui garis ( 0 , 4 ) dan sejajar dengan garis H yang melalui titik pusat koordinat dan titik ( 3 ,2 )
- Tentukan persamaan garis Z yang melalui titik ( 4 , 5 ) dan ( -5 , 3 )
Penyelesaian
- Diketahui : Titik ( 0 , 0 ) dan Titik A ( -4 , 7 )
Ditanya : m = . . .?
Jawab :
m = b / a
= 25 / -20
= – 5/4
2.Diketahui : Titik A ( -4 , 7 ) dan TitikB ( 2 , -2 )
Ditanya : m = . . ?
Jawab :
m= y1 – y2 / x1 – x2
m = 7 – ( -2) / -4 -2
m = 9 / -6
m = – 3/2
3. Diketahui : persamaan 4x + 5y – 6 = 0
Ditanya : m = . . .?
m = -a / b
= -4 / 5
4.Diketahui :
titik pusat koordinat ( 0 , 0 )
m = -4/5
Ditanya : persamaan garis lurus = . . .?
Jawab :
y = mx
y = -4 / 5 x
-4y = 5x
-4y -5y = 0
<-> 4y + 5y = 0
5. Diketahui :
titik garis ( 0 , -2 )
m = 3 / 4
Ditanya :
Persamaan garis = . . .?
Jawab :
cara 1
y = mx + c
y = 3/4 x + ( -2 ) x4
< => 4y = 3x – 8
< = > -3x + 4y + 8 = 0
cara 2
y – y1 = m ( x – x1 )
y – ( -2 ) = 3/4 ( x – 0 )
y + 2 = 3/4 x x4
< = > 4y + 8 = 3x
< = > -3y + 4y + 8
6. Diketahui :
Titik koordinat ( 0 , 0 ) dan titik ( 3 , 2 )
Ditanya : Persamaan garis G = . . .?
Jawab :
Langkah pertama kita tentuka gradiennya terlebih dahulu , yaitu :
m = y2 – y1 / x2 – x1
= 2 – 0 / 3 – 0
= 2/ 3
Karena Garis G // H , maka gradiennya adalah 2/3 DAN Melalui titik ( 0 , 4 ) , maka persamaan garisnya adalah :
y = mx + c
y = 2 / 3 x + 4 x3
< = >3y = 2x + 12
< = > 3y – 2x – 12 = 0
< = > 2x – 3y + 12 = 0
7. Diketahui : titik A ( 4 , 5 )
titik B ( -5 , 3 )
Ditanya : Persamaan garis Z = . . .?
Jawab :
Cara 1
Langkah pertama yaitu mencari gradien terlebih dahulu :
m = y1 – y2 / x1 – x2
= 5 – 3 / 4 – ( -5 )
= 2 / 9
Selanjutnya yaitu memasukkan ke dalam rumus :
Persamaan garis melalui titik ( 4 , 5 ) dan bergradien 2 / 9
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 5 = 2/9 ( x – 4 )
y – 5 = 2/9x – 8/ 9
y = 2/9 x – 8 / 9 + 5
y = 2/9 x – 8/9 + 45 /9
y = 2/9x – 37 / 9
Cara 2
Tanpa mencari gradien, yaitu dengan cara
y – 5 / 3 – 5 = x – 4 / -5 – 4
y – 5 / -2 = x – 4 / -9
-9 ( y – 5 ) = -2 ( x – 4 )
-9y + 45 = -2x + 8
-9y + 2x +45 – 8 = 0
2x – 9y + 37 : 9
< = > 2/9 x – y + 37 / 9
< = > y = 2/9x + 37 / 9
Demikian penjelasan mengenai rumus persamaan garis lurus dan beberapa contohnya . Semoga dengan penjelasan di atas , sedikit membantu memecahkan permasalahan dalam mengerjakan soal yang berhubungan dengan persamaan garis lurus . Inti dari persamaan garis lurus adalah memahami apa itu gradien dan memahami antara titik yang dilalui baik titik pusat koordinat , titik koordinat y ataupun titik koordinat x .Atau jika dilambangkan yaitu titik pusat koordint ( 0 , 0 ) , titik koordinat ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y 2 ) .
Semoga bermanfaat . . . .
Deret Bilangan Aritmatika Dan Geometri Dalam Matematika
Deret Bilangan | Deret bilangan adalah salah satu cabang ilmu dalam matematika yang masih ada hubungannya dengan barisan bilangan , yang sebelunya telah di bahas . Deret bilangan juga terdiri dari dua macam , seperti halnya barisan bilangan yaitu deret bilangan aritmatika dan deret bilangan geometri . Langkah awal untuk mempelajari deret bilangan aritmatika dan geometri adalah kita harus memahami terlebih dahulu mengenai pengertian deret bilangan itu sendiri .Mari kita pelajari bersama
Deret Bilangan Aritmatika Dan geometri
A. Pengertian Dan Macam Deret Bilangan
Deret bilangan yaitu jumlah dari suku – suku dari suatu barisan .
Jika U1 , U2 , U3 , U4 , . . . .Disebut dengan barisan bilangan , maka bentuk deret bilangan adalah U1 + U2 + U3 +…
Contoh :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .
Macam – macam deret bilangan yaitu :
- Deret bilangan aritmatika
- Deret bilangan geometri
B. Definisi Deret bilangan aritmatika dan deret bilangan geometri
- Deret Bilangan Aritmatika
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n adalah :
Sn = 1/2 n ( a+ Un ) atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Contoh soal :
- 4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?
Penyelesaian :
Diketahui : a = 4 , b = 5
Un = a + ( n – 1 ) b
U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5
= 4 + 29.5
= 4 + 145
= 149
maka , S30 adalah :
Cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )
= 15 x 153
= 2295
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]
= 15 [ 8 + 29 .5 ]
= 15 ( 8 + 145 )
= 15 ( 153 )
= 2295
2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199
Penyelesaian :
Diketahui : a = 3 , b = 4
Ditanya :
a.) n = . . .
b.) Sn = . . .
Jawab :
a.) Un = a + ( n -1 ) b
199 = 3 + ( n – 1 ) 4
199 = 3 + 4n -4
199 = -1 + 4n
200 = 4n
50 = n
b.) cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )
= 25 ( 202 )
= 5050
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]
= 25 [ 6 + 49.4 ]
= 25 ( 6 + 196 )
= 25 ( 202 )
= 5050
3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :
1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1 , b = 4 , n = 10
Ditanya : Sn = . . . ?
Jawab :
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]
= 5 [ 2 + 9.4 ]
= 5 ( 2 + 36 )
= 190
4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :
a.) nilai a dan b
b.) U10
c.) S11
Penyelesaian ;
a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13
U9 = 21 —> a+ 8b = 21 _
-4 b = -8
b = 2
a + 4b = 13
a + 4.2 = 13
a + 8 = 13
a = 5
b.) U10 = a + 9b
U10 = 5 + 9 .2
u10 = 5 + 18 = 23
c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S11 = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]
S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]
S11 = 1/2.11 ( 30 )
S11 = 165
2. Deret Bilangan Geometri
Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .
Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5 . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
_
Sn – rSn = a – a.rn
Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rn )
Sn = a – a rn / 1 – r
Sn = a ( 1 – rn ) / ( 1 – r )
Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :
Sn = a – a rn / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r , dengan r ≠ 1
Untuk lebih jelasnya lagi , maka perhatikan contoh – contoh soal di bawah ini :
- Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r
b.) S10
Penyelesaian :
a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486
U3 = 18 –> a.r2 = 18
U6 / U3 = 486 / 18 —–> a.r 5 / a.r2 = 486 / 18
r3 = 27
r = 3
a.r2 = 18
a.32 = 18
a.9 = 18
a = 2
b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )
S10 = 2 ( -59048 ) / ( -2 )
S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458 = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
36 = 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187
Demikia penjelasan mengenai Deret Aritmtika dan deret geometri . Inti dari deret adalah menjumlahkan semua barisan bilangan baik aritmatika atau geometri . Semoga dengan penjelasan di atas , dapat membantu menyelesaikan permasalahan dalam menyelesaikan soal yang berhubungan dengan deret bilangan .
Barisan Bilangan Aritmatika Dan Geometri
Barisan Bilangan | Barisan bilangan merupakan salah satu bentuk cabang ilmu matematika yang merupakan bentuk materi kelanjutan dari pola bilangan yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya . Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmatika dan barisan geometri . Sebelum mempelajari secara rinci atau secara mendalam , maka kita terlebih dahulu mempeljari pengertian daripada barisan bilangan .
Barisan Bilangan Aritmatika Dan Geometri
A. Pengertian Barisan Bilangan
Barisan bilangan yaitu suatu daftar bilangan dari sebelah kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu . Setiap aggota dari barisan bilangan di sebut dengan suku bilangan atau yang biasa dilambangkan dengan ” U “
Contoh :
3,4,5,6,7,8,9,10, . . . .
1,2,4,8,16,32 ,. . . .
B. Macam – macam Barisan Bilangan
Barisan bilangan terbagi atas dua macam yaitu :
- Barisan bilangan Aritmatika
- Barisan bilangan Geometri
C. Definisi Barisan Bilangan Aritmatika Dan geometri
- Barisan Bilangan Aritmatika ( penjumlahan )
Barisan bilangan aritmatika , yaitu barisan yang selisih antar suku yang berdekatan konstan atau barisan aritmatika disebut juga bilangan yang suku selanjutnya merupakan penjumlahan dari suku sebelumnya dengan rasio .
- Bentuk barisan aritmatika
a. Barisan aritmatika berderajat satu
Secara umum, barisan aritmatika ditulis sebagai berikut :
a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .
U1 = a
U2 = a+2b
U3 = a+3b
U4 = a+ 4b
U10= a + 9b
Jadi , diperoleh Rumus barisan aritmatika sebagai berikut :
- Rumus Barisan Aritmatika
Un = a + ( n – 1 ) b
b = Un -U(n-1) atau b= U(n+1) – Un
Keterangan :
Un = suku ke n
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = rasio atau beda
Contoh Soal
- 7 , 13 , 19 , 25 , 31 , 37 , . . .
Dari barisan bilangan di atas , tentuka :
a.) a
b.) b
Penyelesaian :
a.) a = suku pertama maka a = 7
b.) b = U2 – U1
= 13 – 7
b = 6
2. Suatu arisan aritmatika suku ke-3 = 13 dan suku ke -6 = 28 . Tentukan :
a.) b
b.) a
c.) U8
d.) Tulislah enam suku pertama
Penyelesaian :
Diketahui : U3 = 13 dan U6= 28
Jawab :
a. ) U3 = 13 ->> a + 2b = 13
U6 = 28 ->> a + 5b = 28 _
-3b = – 15
b = -15 / -3
b = 5
b.) a + 2b = 13
a + ( 2.5) = 13
a + 10 = 13
a = 3
c.) Un = a + (n-1)b
U8 = a + 7b
= 3 + 7 . 5
= 38
d.) 3 ,8 , 13 , 18 , 23 , 28 , . . .
b. Barisan aritmatika berderajat dua
Barisan aritmatika berderajat dua , yaitu barisan aritmatika yang beda atau rasionya tidak tetap dan dan apabila beda tersebut dijadikan barisan maka akan terbentuk rasio yang tetap atau mengalami dua tahap baru diketahui beda atau rasio yang sama atau tetap .
Rumus umum barisan aritmatika berderajat dua :
Un = an2 + bn + c
Contoh :
1 , 3 , 6 , 10 , 15 , .. . .
Dari barisan aritmatika diatas , tentukan :
a.) Un
b.) U20
Penyelesaian :
Barisan di atas merupakan barisan aritmatika berderajat dua , karena dua tahap baru sama rasionya .
Misal Un = an2 + bn + c
U1 = 1 –> a + b + c = 1 . . . . .(1)
U2 = 3 –> 4a + 2b + c = 3 . . . (2)
U3 = 6 –> 9a + 3b + c = 6 . . .(3)
- Dari persamaan ( 2 ) dan (1 )
4a + 2b + c = 3
a + b + c = 1 _
3a + b = 2 . . . .( 4 )
- Dari persamaan ( 3 ) dan ( 2 )
9a + 3b + c = 6
4a + 2b + c = 3 _
5a + b = 3 . . . . ( 5 )
- Dari persamaan ( 5 ) dan ( 4 ) untuk mencari nilai a
5a + b = 3
3a + b = 2 _
2a = 1
a = 1/2
- mencari nilai b , maka gunakanlah salah satu persamaan dan kali ini supaya mempermudah maka gunakan persamaan (4 )
3a + b = 2
3.1/2 + b =2
1 1/2 + b = 2
b = 1/2
- mencari nilai c , maka gunakanlah persamaan ( 1 )
a + b + c = 1
1/2 + 1/2 + c = 1
1 + c = 1
c = 0
- mencari Un , maka gunakanlah persamaan misal , yaitu
Un = an2 + bn + c
= 1/2n2 + 1/2n + 0
= 1/2 n ( n + 1 )
jadi , jawaban nya adalah :
a.) Un = 1/2 n ( n + 1 )
b.) U20 = . . .?
Un = 1/2 n ( n + 1 )
U20 = 1/2 .20 ( 20 + 1 )
= 10 ( 21 ) = 210
2. Barisan Bilangan Geometri ( perkalian )
Barisan Bilangan Geometri , yaitu suatu barisan bilangan yang suku – sukunya terdiri dari atau terbentuk dari perkalian antara rasio dengan suku sebelumnya .
Bentuk umum dari suatu barisan geometri adalah :
a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5 , . . . . .
U1 = a
U2 = a.r
U3 = a.r2
U4 = a.r3
U10 = a.r9
Jadi , Rumus Barisan bilangan Geometri secara umum adalah
Un = a.rn-1
Contoh soal :
- Sebuah barisan geometri , diketahui U3 = 18 dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r
b.) U7
c.) Tulislah tujuh suku pertama
Penyelesaian :
Diketahui : U3 = 18 U6 = 486
Jawab :
a.) U3 = 18 –> a.r2 = 18
U6 = 486 –> a.r 5 = 486
U6 / U3 = 486 / 18 —-> a.r 5 / a.r2 = 486 / 18
—–> r3 = 27
r = 3
a.r2 = 18
a. 32 = 18
a = 2
b.) U7 = a.r 6
= 2 .3 6 = 2 . 729 = 1458
c.) tujuh suku pertama yaitu :
2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 , 1458 , . . .
Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika
Sebagai tambahan informasi saja bahwa didalam Barisan Aritmatika yang mempunyai jumlah yang ganjil, maka diantara Barisan Aritmatika itu terdapat suatu Suku Tengah Barisan Aritmatika. Kemudian didalam Cara Mencari Suku Tengah Barisan Aritmatika tersebut bisa kalian lihat rumusnya seperti dibawah ini :
U† = 1/2 (U1+Un)
Demikian , penjelasan mengenai barisan bilangan aritmatika dan geometri . Inti atau kunci dari pembahasan kali ini adalah bahwasannya pertama kali kita kenali bagaimana bntuk barisan aritmatika dan bagaimana bentuk barisan geometri . Setelah faham , maka selanjutnya baru pelajari bagaimana rumus – rumusnya dan apa saja komponen – komponen yang ada di dalamnya.
Sesungguhnya , untuk membedakan barisan aritmatika dan geometri sangatlah mudah yaitu apabila antara suku yang satu dengan yang lain merupakan hasil dari pembeda di tambah dengan suku sebelumnya maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan aritmatika. Sebaliknya , apabila suku pada suatu barisan bilangan merupakan hasil kali dari suku sebelumnya dengan pembeda maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan geometri.
0 Response to "√Rumus Persamaan Garis Lurus Dan Penjelasannya Lengkap Kuncinya"
Posting Komentar